Continuité ⁠

Sur le tableau noir traçons une ligne hori­zon­tale qui le divise en deux parties. Puis marquons deux points, l’un situé dans la partie en bas et l’autre dans la partie en haut.

Joignons ces points par une ligne continue (c’est–à–dire ne déta­chant jamais la craie du tableau noir). À un certain point (qui peut être non unique) notre ligne croise la ligne hori­zon­tale.

Pense­riez–vous que ce fait évident pour les enfants peut être utile en mathé­ma­tiques? Malgré l’appa­rente évidence, cette propo­si­tion est un théo­rème, à savoir le théo­rème de Bolzano–Cauchy, et néces­site une démons­tra­tion.

Nous ne donne­rons pas ici la preuve de ce théo­rème, mais nous obser­ve­rons seule­ment que toutes ses hypo­thèses sont impor­tantes, c’est–à–dire néces­saires. Si la ligne n’était pas continue (c’est à dire, si on pouvait déta­cher la craie du tableau noir), il est évident que nous pour­rions sauter du bas vers le haut du tableau, sans fran­chir la ligne hori­zon­tale. Si on ne consi­dé­rait pas l’inter­sec­tion avec la ligne hori­zon­tale (qui repré­sente l’ensemble des nombres réels), mais, par exemple, l’inter­sec­tion avec seule­ment l’ensemble des nombres ration­nels, l’inter­sec­tion pouvait être évitée aussi dans ce cas.

La chose la plus surpre­nante c’est que cette obser­va­tion en appa­rence enfan­tine est un outil très puis­sant utilisé dans la démons­tra­tion de certaines propo­si­tions mathé­ma­tiques. L’incon­vé­nient est que la preuve n’est pas construc­tive: la ligne quelque part fran­chit la ligne hori­zon­tale, mais à quel point exac­te­ment, étant donnée une ligne continue, il est impos­sible de le dire en utili­sant ce théo­rème.

Quelques exemples de l’utili­sa­tion du théo­rème de Bolzano–Cauchy seront montrés dans les films de la Section “Con­ti­nuité”.