Ombres ⁠

Prenons un projec­teur qui éclaire avec des rayons parallèles. C’est évident qu’un cube peut avoir une ombre carré. Combien de sommets au maximum peut avoir le poly­gone qui forme l’ombre d’un cube? Si la diago­nale du cube est parallèle au rayon, l’ombre sera un hexa­gone régulier.

Tour­nons le projec­teur et l’écran. L’ombre qui apparaît sur l’écran est un carré. Notre objet doit-il forcément être un cube?

Ajou­tons un écran et un projec­teur, perpen­di­cu­lai­re­ment aux premiers. A présent, nous avons 2 projec­tions ortho­go­nales carrées. Le cube est-il le seul à donner de telles ombres?

Et si 3 projec­tions ortho­go­nales étaient carrées.

On peut faci­le­ment imaginer des corps non-convexes qui ont de telles projec­tions. Par exemple, un cube avec des imper­fec­tions. Mais si on considère unique­ment les corps convexes, ou, plus précisément, les polyèdres réguliers, que se passé-t-il?

Il se trouve qu’il existe même un polyèdre régulier, autre qu’un cube, donnant des ombres carrées dans 3 direc­tions perpen­di­cu­laires.

Effec­ti­ve­ment, nous pouvons inscrire un tétraèdre régulier dans le cube! Quatre sommets du tétraèdre coïncident avec les sommets du cube. Toutes les arêtes du tétraèdre seront diago­nales aux faces du cube et, par conséquent, seront égales entre elles. 

Le tétraèdre régulier dispose ainsi occupe toute la projec­tion du cube, dans la direc­tion perpen­di­cu­laire de la face.

Si le cube est dispose de sorte que les 3 projec­tions ortho­go­nales soient carrées, le tétraèdre régulier inscrit dedans donnera les mêmes ombres: trois carrés.