La trisection de l’angle

Le problème consiste à diviser un angle en trois parties égales. Avec deux autres problèmes clas­siques de construc­tion — la dupli­ca­tion du cube et la quadra­ture du cercle — le problème de la trisec­tion est venu jusqu’à nous de la Grèce antique et dans le cours de plusieurs siècles a occupé les esprits de meilleurs mathé­ma­ti­ciens.

On a essayé plusieurs fois de résoudre ces problèmes en faisant usage des instru­ments sacrés de la géomé­trie eucli­dienne: la règle et le compas.Entre autres choses, même dans l’antiquité les mathé­ma­ti­ciens avaient deviné que, en utili­sant la règle et le compas seuls, ces problèmes étaient insur­mon­tables, mais plus tard, cela fut démontré. Les tenta­tives visant à élargir la gamme des outils permis eu une grande influence sur les mathé­ma­tiques de la Grèce antique, et a mené à la première étude des sections coniques, à la recherche de courbes complexes, et à la construc­tion de théo­ries inté­res­sants.

Consi­dé­rons un méca­nisme à char­nières, composée d’un paral­lé­lo­gramme avec deux char­nières fixes. Du cours de mathé­ma­tiques à l’école vous vous souvien­drez que les angles opposés d’un paral­lé­lo­gramme sont égaux. Cela est vrai pour tout paral­lé­lo­gramme, et donc aussi pour notre méca­nisme, n’importe comment soit–il incliné.

Mais vrai­ment n’importe comment ?

Notre système a un point singu­lier, lorsque toutes les barres sont sur la même ligne. De ce point de bifur­ca­tion le méca­nisme peut sortir ou rede­ve­nant un paral­lé­lo­gramme ou se trans­for­mant en une figure appelée anti­pa­ral­lé­lo­gramme.

Alfred Bray Kempe 1849—1922

Kempe était un avocat britan­nique. Un avocat de profes­sion, mais un mathé­ma­ti­cien par voca­tion. En 1879, il a publié la solu­tion au problème des quatre couleurs. La Royal Mathe­ma­tical Society l’a élu son membre immé­dia­te­ment, et plus tard il a été élevé au rang de cheva­lier pour sa contri­bu­tion au déve­lop­pe­ment des mathé­ma­tiques. Dans la «démons­tra­tion» de Kempe on a cru pendant 11 ans. Mais en 1890 Hivud Percy publia un travail qui secoua le monde des mathé­ma­tiques: il montra une erreur de base dans l’argu­men­ta­tion de Kempe. Cepen­dant, certaines idées de son «démons­tra­tion» étaient correctes et un siècle plus tard ont été utili­sées dans la démons­tra­tion de ce théo­rème à l’ordi­na­teur.

C’est cette singu­la­rité du méca­nisme à char­nières que nous avons consi­déré qui a été la cause d’une erreur dans le raison­ne­ment d’Alfred Kempe ; en 1876 il «prouva» le théo­rème qu’il ya un méca­nisme à char­nières, capable de forger votre signa­ture et ne pouvant dessiner rien d’autre. Plus préci­sé­ment, que toute courbe algé­brique qui est dans une région bornée du plan est la trajec­toire d’un méca­nisme planaire à char­nières. Le théo­rème lui–même est vrai, mais seule­ment en 1984 on a trouvé qu’il n’y avait une erreur dans la preuve de Kempe et seule­ment à la fin du XXe siècle on l’a corrigé.

Du paral­lé­lo­gramme l’anti­pa­ral­lé­lo­gramme hérite la propriété que les deux côtés opposés sont égaux ; même les deux autres, qui se croisent entre eux, sont égaux. Mais notre figure possède égale­ment une rela­tion entre les angles: même dans l’anti­pa­ral­lé­lo­gramme ils sont égaux en couple!

Ajou­tons à notre anti­pa­ral­lé­lo­gramme un autre anti­pa­ral­lé­lo­gramme plus petit, mais semblable au premier. Ils ont un angle en commun, ce qui signifie que les angles marqués en rouge sont les mêmes.

En éten­dant les côtés de ces angles, on obtient un méca­nisme planaire à char­nières qui peut être utilisé pour construire la bissec­trice d’un angle quel­conque.

Nous pouvons main­te­nant ajouter encore un autre anti­pa­ral­lé­lo­gramme semblable aux deux premiers. Avec le même raison­ne­ment, l’angle près de la char­nière en rouge sera égal aux deux autres voisins, que nous avons déjà montré être égaux.

Le méca­nisme planaire à char­nières que nous avons obtenu est un trisec­teur d’angles, et pour­tant il résout le problème de la divi­sion de n’importe quel angle en trois parties égales!

Kempe s’arrêta sur ce méca­nisme, puisque dans sa «preuve» du théo­rème de la «signa­ture» il lui fallait un méca­nisme capable de diviser un angle dans exac­te­ment trois parties. Cepen­dant, il est clair qu’on peut encore conti­nuer l’algo­rithme de construc­tion du trisec­teur, et ainsi obtenir des méca­nismes à char­nières qui divisent n’importe quel angle dans un nombre arbi­traire de parties égales.