Chainette

... Une autre façon de tracer la para­bole cher­chée sur un mur est la suivante. Plan­tons deux clous dans le mur à la même hauteur au-dessus de l'horizon, à une distance l'un de l'autre, qui est le double de la largeur du rectangle, où nous voulons inscrire la para­bole. Accro­chez aux clous les extré­mités d'une chaîne fine d'une longueur telle que son point le plus bas se trouve à une distance du niveau des clous égale à la hauteur du rectangle. La chaîne suspendue prend la forme d'une para­bole, de sorte que, en marquant les points du mur par les maillons de la chaîne, on obtient le tracé d'une para­bole, qui est bissecté par le segment de droite perpen­di­cu­laire qui passe entre les deux clous en son point médian.

Galileo Galilei “Conver­sa­tions et preuves mathé­ma­tiques.” 1638.

Cepen­dant, le mètre s’est trompé. Il y aura une petite distinc­tion entre une para­bole et une ligne de chaîne courbe. A peine un demi-siècle plus tard, Yoan Bernulli, Godfried Leib­nitz et Chris­tian Hughens ont déduit l’équation de la “Chaînette”. Un paramètre la compose,et, en le modi­fiant, il peut rece­voir une diversité de fléchis­se­ments courbes de chaîne. Nous devons l’origine du nom “Chaînette” à Hughens.

Il n’y a pas seule­ment une chaîne suspendue le long de cette ligne, mais n’importe qu’elle autre fil simi­laire non tendu par l’action de la force de pesan­teur. Vous pouvez observer cette courbe, par exemple, en visi­tant un musée.

Mais retour­nons à notre tableau.

Si on relève un paramètre dans l’équation, comme le centre du carré, se déplaçant sans heurt le long de l’arc de la chaînette, alors, il se déplacera le long d’une droite!

Obser­vons la trajec­toire du déplace­ment d’un des sommets du carré. Cette courbe ne coupe nulle part la chaînette, c’est-à-dire qu’on peut faire une voiture à roués carrées! Ainsi, la distance entre les axes de la voiture ne sont pas obli­ga­toi­re­ment de longueur multiple a la bosse de la chaînette. Les roués peuvent être à différentes phases.

Nous avons appris à rouler avec des roués carrées. Il se trouve qu’on peut rouler avec des roués de différentes formes de poly­gones réguliers. La route doit seule­ment être non plane, ressem­blant à une chaîne, avec connais­sance du paramètre dépendant de la quantité d’angles. Selon le rappro­che­ment du poly­gone régulier de la circonférence et d’un chan­ge­ment corres­pon­dant du paramètre, les arcs de la chaînette deviennent plus bas,la longueur hori­zon­tale du morceau, nécessaire pour tour du poly­gone, se rapproche de la longueur de la circonférence. Voilà comment est l’évolu­tion des roues, qui, à la différence des poly­gones droits, se déplaçant sur une chaînette, savent tourner.

Tendons sur deux cercles, disposés sur deux plans parallèles, une .couche savon­neuse. La couche savon­neuse est un objet surpre­nant. Elle est légère, les forces intérieures sont beau­coup plus fortes que la force de pesan­teur, à cause de ça, cette couche ressemble toujours à une surface ayant une aire infime selon les condi­tions de frontières données. Comment s’installe la couche de savon, étendue sur les cercles?

Il se trouve que ce sera la surface, caractérisée par la rota­tion de la chaîne. Si on change la distance entre les plans des cercles, la surface sera alors aussi changée, mais ressem­blera toujours, de profil, à une chaîne de longueur donnée, suspendue conformément à sa dispo­si­tion à des colonnes disposées. Léonard Euler a démontré cela en 1744, dans l’oeuvre “Méthode pour trouver des lignes courbes jouis­sant de propriétés de maximum ou de minimum, où la solu­tion de problèmes isopérimétriques dans le sens le plus large”, il a nommé la surface caténoïde ( catena: chaîne en latin; idos: représenta­tion, aspect en grec).

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