L’aire des figures planes ⁠

L’aire du carré est égale au carré de la longueur de son côté. Il est facile de calculer l’aire d’une figure qui peut être divisée en plusieurs carrés. Mais quelle est l’aire d’une figure délimitée par une courbe quel­conque?

Nous allons super­poser sur la figure plane en ques­tion un réseau carré.

Colo­rions en jaune toutes les cases qui son couvertes par la figure au moins partiel­le­ment. Pour visua­liser et calculer l’aire de la surface occupée par les carrés jaunes, nous construi­sons un rectangle avec eux. Il est évident que la quantité, que nous appe­lons aire de la figure en ques­tion, est plus petite de l’aire de ce rectangle jaune.

Colo­rions main­te­nant en bleu tous les carrés qui se trouvent complètement à l’intérieur de notre figure. De ces carrés il y en a moins, bien sûr, que des jaunes. Aussi avec ces carrés nous allons construire un rectangle. L’aire de notre figure est plus grande que l’aire de ce rectangle bleu.

Donc ce que nous appel­le­rions l’aire de la figure en ques­tion est plus grand que l’aire du rectangle bleu et est plus petit que l’aire du rectangle jaune. Mais les aires de ces deux rectangles sont assez différentes, et jusqu’à présent nous n’avons pas l’aire de notre figure.

Pour obtenir des limites inférieure et supérieure plus précis pour la quantité cherchée, considérons un réseau carré avec des cases plus petites. Nous répétons les étapes ci–dessus. Colo­rions en jaune les carrés qui sont couverts par la figure au moins partiel­le­ment. Et colo­rions en bleu ceux qui sont entièrement à l’intérieur de la figure. Encore une fois l’aire de la figure est plus grande que celle du rectangle bleu et plus petite que celle du rectangle jaune. Mais cette fois, après avoir pris un réseau plus fin, nous obte­nons que les limites supérieure et inférieure se rapprochent.

En considérant des réseaux de plus en plus fines, nous obte­nons des limites supérieures et inférieures de l’aire cherchée de plus en plus précises.

Comme le réseau devient plu fin, l’aire de chaque carrés, dont il est constitué, tend vers zéro. Par une abstrac­tion de la réalité, dans le modèle mathématique on dit qu’on peut faire des carrés aussi petits que l’on veux. Alors, on dira qu’à la limite le poly­gone jaune et le poly­gone bleu seront égaux. Nous allons considérer un rectangle, fait par les moitiés de ces rectangles jaune et bleu (on pour­rait aussi bien considérer un seul de ces rectangles).

L’aire cherchée de la figure est par défini­tion l’aire du rectangle en deux couleurs.

Dans la vie quoti­dienne il ya des cas où il est nécessaire de définir l’aire d’une figure approxi­ma­ti­ve­ment. L’aire calculée, c’est à dire, doit être différente de la vraie au plus d’une quantité donnée. Pour résoudre ce problème, il faut prendre un réseau de carrés tels que la différence entre l’aire du rectangle jaune et l’aire du rectangle bleu ne dépasse pas le double de la marge d’erreur. Ensuite, comme l’aire de la figure, il faut prendre un nombre égal à la somme des aires des rectangles jaunes et bleus, divisé par deux.