Le problème du sandwich

Est–ce que l’on peut couper par une section planaire un sand­wich fait d’une tranche de pain, une de fromage et une de jambon d’une manière que les deux parties contiennent les mêmes quan­tités de pain, de fromage et de jambon? Nous allons montrer qu’il est possible.

Consi­dé­rons d’abord le problème à deux dimen­sions. Suppo­sons qu’on a fixé deux régions dans le plan. Y a–t–il une droite qui divise simul­ta­né­ment la première à la seconde région en deux parties de la même aire?

Pour démon­trer que telle droite existe, consi­dé­rons d’abord une seule des régions données. Choi­sis­sons une direc­tion arbi­traire. Y a–t–il une droite avec cette orien­ta­tion qui divise la région en deux parties d’aires égales? Nous allons montrer que cette droite existe, n’importe quelle direc­tion étant choisie. Prenons une ligne droite avec la direc­tion choisie de telle façon que la région résulte être entiè­re­ment à sa droite. Nous allons construire deux graphes repré­sen­tant les aires des surfaces de la région qui sont situés à droite et à gauche de la ligne, en fonc­tion de la distance de cette ligne de sa posi­tion initiale. Au début, toute la région est située à la droite de la ligne, ce qui signifie que l’élément de l’histo­gramme à gauche est nulle et celui à droite repré­sente l’aire de toute la région. Commençons à déplacer la ligne vers droite de sorte qu’elle soit toujours paral­lèle à sa posi­tion initiale. Pendant ce dépla­ce­ment l’aire de la région qui se trouve à droite de la ligne va dimi­nuer avec conti­nuité, tandis que l’aire à sa gauche va augmenter avec conti­nuité. A’ la fin toute la région sera à gauche de la ligne. La partie gauche de l’histo­gramme (en bleu) repré­sen­tera l’aire de la région entière, et la partie à droite sera zéro.

Si l’on regarde les graphes repré­sen­tant les aires à gauche et à droite de la ligne en fonc­tion de la distance de la ligne de sa posi­tion initiale, en raison préci­sé­ment de leur conti­nuité, il existe quelque part un point d’inter­sec­tion. Ce point nous dira exac­te­ment la posi­tion de la ligne qui sépare la région en deux parties de la même aire.

Puisque la direc­tion de la ligne a été choisi arbi­trai­re­ment, une ligne qui divise la région en deux parties égales existe dans n’importe quelle direc­tion.

Reve­nons main­te­nant au cas de deux régions. Nous consi­dé­re­rons seule­ment les lignes droites qui découpent la première région (à gauche) en parties égales, et au debout choi­sis­sons la droite hori­zon­tale orientée vers la droite. Elle coupera la deuxième région (à droite) de quelque façon. Chan­geons la direc­tion de cette ligne, en restant dans l’ensemble des droites qui divisent la première région en deux parties égales. Dessi­nons le graphe de la diffé­rence entre les aires de la deuxième région qui se trouvent à droite et à gauche de cette ligne, en fonc­tion de l’angle entre cette ligne et sa direc­tion initiale, c’est–à–dire l’hori­zon­tale. Au debout cette diffé­rence est néga­tive. En chan­geant la direc­tion avec conti­nuité la droite en fin se trou­vera de nouveau dans sa posi­tion initiale, mais retournée, ainsi que les aires è droite et à gauche sont échan­gées entre eux. Dans cet instant la valeur de leur diffé­rence est posi­tive. Puisque la diffé­rence varie avec conti­nuité, son graphe qui va d’une valeur néga­tive à une valeur posi­tive doit croiser la ligne de la valeur nulle. L’angle corres­pon­dant à cette valeur iden­tifie la droite qui divise exac­te­ment en deux la deuxième région. Nous avons ainsi trouvé la droite voulue, qui divise les deus régions en deux parties d’aires égales.

Voici comment on utilise le théo­rème de Bolzano–Cauchy. Malheu­reu­se­ment, la façon de trouver cette ligne étant données des régions de formes arbi­traires, arbi­trai­re­ment disposés l’une par rapport à l’autre, nous ne la pouvons pas connaître, sans l’aide d’autres idées et connais­sances. Mais elle existe, pour toute paire de régions! Les théo­rèmes de ce type sont appelés «théo­rèmes d’exis­tence».

Passons main­te­nant au cas de trois dimen­sions. Au lieu de deux régions dans le plan à deux dimen­sions, nous consi­dé­rons trois objets arbi­traires, arbi­trai­re­ment dispo­sées rapport l’un à l’autre dans l’espace. Au lieu des aires, nous allons consi­dérer les volumes, et au lieu d’une droite, un plan. Il arrive que dans ce cas par un argu­ment pareil à celui utilisé dans le plan, nous pouvons démon­trer un théo­rème d’exis­tence. Pour tout choix arbi­traire de trois objets il existe un plan qui divise chacun objet en deux parties de volumes égaux.

Pour que la vie aie plus de saveur, consi­dé­rons un sand­wich fait d’une tranche de pain, une de fromage et une de jambon. Il s’agit de trois objets disposés d’une certaine façon l’un par rapport à l’autre. Essayez de démon­trer qu’il y a un plan qui coupe le jambon en deux parties égales et coupes simul­ta­né­ment soit le fromage soit le pain en parties égales. En utili­sant des argu­ments supplé­men­taires, ce plan a été trouvé pour le sand­wich montré dans le film, où il sera évident que les trois objets ont été divisés en deux parties égales!

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