Le rouble replié

Après la guerre, en 1947, on intro­duisit dans l’Union sovié­tique de nouveaux billets, qui étaient encore en circu­la­tion en 1956.

En cette année, Vladimir Igore­vich Arnold posa le problème du rouble plié. Est–ce qu’on peut construire un poly­gone planaire en pliant une feuille de papier (un billet de un rouble) afin que le péri­mètre de ce poly­gone est plus grande que le péri­mètre de la feuille de depart?

En 1961 en Russie on changea à nouveau les pièces et les billets de banque, de sorte que aussi le billet d’un rouble a changé, en deve­nant une feuille de papier beau­coup plus petite. A cette époque, cepen­dant, le problème n’était encore résolu.

Par ailleurs, même si la réponse posi­tive «c’est possible» est en contra­dic­tion avec l’intui­tion, il doit y avoir une raison mathé­ma­tique pour la réponse néga­tive. Si l’on plie un rectangle le long d’une ligne droite, son péri­mètre ne peut qu’en résulter réduit: au bord déjà exis­tant il faut ajouter le segment de droite le long de laquelle on a pris le pli, mais il faut supprimer une ligne brisée qui a les mêmes extrêmes de ce segment. Si main­te­nant on fait une chose pareille, c’est–à–dire on plie le poly­gone obtenu le long d’une ligne droite, la situa­tion est la même: le péri­mètre augmente de la longueur d’un segment, mais diminue de la longueur d’une ligne brisée. Ce type de pliage — le long d’une ligne droite — est appelé «simple» et ne peut jamais dimi­nuer le péri­mètre. Ce n’est cepen­dant qu’une raison, mais pas encore une preuve.

Mais alors, peut–on ou non augmenter le péri­mètre du rectangle initial? Dans les années 1991 et 1993, les billet de banque ont été changés encore, et le billet d’un rouble du ’61 est sorti de la circu­la­tion. Mais le problème d’Arnold restait non résolu.

Depuis ce temps, un rouble russe vaut, malheu­reu­se­ment, si peu qu’il n’y a plus de billet d’un rouble, mais seule­ment des pièces de cette valeur.

Au début de l’XXIe siècle, toute­fois, le problème a été résolu. La première solu­tion mathé­ma­tique rigou­reuse a été donné par un élève de N.P. Dolbilin, Alexei Tarasov. Il a inventé un algo­rithme pour le pliage d’un carré de sorte qu’au total on obtient un poly­gone planaire avec un péri­mètre plus grande.

Ceux qui ne souhaitent que de profiter du film, peuvent sauter la prochaine partie, qui est ajouté pour ceux qui veulent bien comprendre la façon de plier le carré.

Prenons une feuille de papier carrée. Nous allons la diviser en cases carrées, par exemple, 4x4. Les cases seront colo­riées par deux couleurs, comme un damier, et du centre de chaque carré on tirera un nombre défini de rayons. Après on ajou­tera dans chaque case rouges une étoile verte, de sorte que la taille de ces étoiles ira croître dans la direc­tion d’une diago­nale. Main­te­nant nous plions le papier en une bande, puis en un rectangle, et, fina­le­ment, en un triangle. L’objet résul­tant est fait comme il suit. Il contient dans une moitié plusieurs couches bleu, et dans l’autre moitié plusieurs couches rouges et vertes. Le pliage a été faite de telle façon que les étoiles vertes, après le pliage, augmentent en taille quand on passe d’une couche à une autre, comme si elles étaient l’une dans l’autre. Commençons donc à plier le triangle dans chaque couche de sorte que les couches bleus sortent paral­lèles d’un côté, et les couches vertes et rouges sortent de l’autre côté. Nous obte­nons une surface qui finit par être repliée à nouveau dans un poly­gone planaire.

Ce poly­gone a une partie rouge (les triangles bleus restent cachés en dedans) et un peigne vert. Nous obser­vons que le peigne a un nombre de dents égal au nombre d’étoiles vertes, c’est à dire de carrés rouges.

Mais le péri­mètre est–il augmenté par rapport à celui du carré initial? Est–ce que le problème a été résolu? Si on compare les figures, on voit immé­dia­te­ment que le péri­mètre est diminué. Pourquoi alors nous avons fait ce pliage si compliqué?

Dans cet exemple concret, nous avons utilisé un algo­rithme général. Et dans cet algo­rithme, il y a deux para­mètres: le nombre de cases qui composent le carré initial et le nombre de rayons dans chaque carré. Regar­dons ce qui arrive si nous modi­fions ces para­mètres.

Pour la même subdi­vi­sion 4x4 on va augmenter le nombre de rayons dans chaque carré. Cela conduit à un amin­cis­se­ment des dents du peigne, à une dimi­nu­tion de l’inter­sec­tion d’entre eux, et par consé­quent, à une crois­sance modérée du péri­mètre.

Il y a encore un autre para­mètre, le nombre de cases qui composent le carré initial. Si nous faisons augmenter ce para­mètre, le nombre de dents du peigne de la construc­tion va augmenter.

L’augmen­ta­tion simul­tanée des deux para­mètres, le nombre de cases et la quan­tité de rayons — donne une augmen­ta­tion du péri­mètre. Mais combien peut il augmenter? On trouve, jusqu’à l’infini. Mais cela signifie qu’à un certain moment il dépas­sera le péri­mètre du carré initial!

Le problème du rouble replié — plier un rectangle en augmen­tant son péri­mètre — est résolu. Mais combien de fois faudra–t–il plier? Pas mal. Depuis les travaux de A. Tarasov voila une réponse: pour une subdi­vi­sion du carré en 16x16 cases et un nombre de rayons dans chaque case de 16²•30, le péri­mètre du poly­gone obtenu sera plus grand que le péri­mètre du carré initial.

Dans le film, on ne peut pas montrer cela, mais est–ce que l’on peut obtenir dans la réalité? Sûre­ment vous vous souvenez bien que plier une feuille de papier, bien que très fine, c’est possible au plus 7–8 fois. Si vous ne l’avait pas fait depuis long­temps, essayez–le avec une simple expé­rience. Alors, qu’est ce que le problème posé par V.I. Arnold, et cette solu­tion avec un algo­rithme “pas réali­sable”, nous donne? Certai­ne­ment, un instru­ment de progrès dans la science, qui sera certai­ne­ment utile dans le déve­lop­pe­ment futur.

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