Géométrie des virages

Est–ce que les roues de la voiture sont paral­lèles lorsque vous braquez?

Il arrive que ce sont préci­sé­ment la géomé­trie et la méca­nique qui défi­nissent ce qu’il faut faire pour tourner les roues de la voiture.

Si le prolon­ge­ment de l’axe de la roue passe par le centre de rota­tion, la roue roule, en lais­sant une trace claire. Si le prolon­ge­ment n’est pas dirigée vers le centre de rota­tion, la roue dérape pendant qu’elle tourne. Sa trace sera effacée par le glis­se­ment, et, surtout, le contrôle d’un véhi­cule avec des roues pareilles sera de plus en plus diffi­cile quand la vitesse augmente. Ainsi, pour un bon contrôle, les prolon­ge­ments des axes des roues doivent toutes être diri­gées vers le centre de rota­tion. Mais qu’est–ce que cela signifie pour une voiture à quatre roues?

Pour commencer, nous obser­ve­rons le braquage le long d’une courbe simple, c’est à dire un arc de cercle.

Puisque les roues arrière dans la plupart des voitures ont le même axe, le prolon­ge­ment de cet axe doit être dirigé vers le centre de ce cercle. Les roues avant sont alors tourné de sorte que l’axe de chacune est dirigé vers le même centre. Cela signifie que pour un bon contrôle il faut être capable de tourner les roues avant d’angles diffé­rents, de sorte que ces roues ne seront pas paral­lèles!

Vous direz que les courbes ne sont pas toujours des arcs de cercles, et en plus que la voiture ne s’arrête pas, quand on braque. Ceci, bien sûr, est vrai, mais il arrive que pendant un virage à chaque instant on peut consi­dérer que la voiture voyage le long d’un arc de cercle dont le rayon et le centre dépendent de cet instant du temps.

Consi­dé­rons une rue quel­conque. Afin d’être prati­cables en voiture, elle ne doit pas avoir des angles vifs, c’est–à–dire, la ligne du milieu sera, comme on dit en mathé­ma­tiques, une courbe lisse.

Prenons n’importe quel point sur cette ligne et marquons le en rouge, et un autre, un peu loin du premier, marqué en bleu. Ces deux points défi­nissent sur le plan une seule ligne droite qui les relie, droite que nous allons tracer. Main­te­nant, déplaçons le point rouge le long de la courbe vers le point bleu. À l’instant où les points coïn­cident, la droite définie par eux deviendra la tangente. Elle repré­sente l’approxi­ma­tion linéaire de la courbe dans un petit voisi­nage du point. Cepen­dant nous obser­ve­rons, en zoomant, que la courbe et la droite ne sont proches que pour un petit trait.

Prenons main­te­nant sur la courbe deux points rouges, un à droite et l’autre à gauche du point bleu. Trois points qui ne sont pas sur une ligne droite défi­nissent un seul cercle, cercle que nous allons tracer. Main­te­nant, déplaçons les deux points rouges vers le point bleu. À l’instant où les trois points coïn­cident nous obte­nons un cercle, qui est appelé oscu­la­teur. Il réalise l’approxi­ma­tion au second ordre de la courbe, et par le zoom on peut voir que cette approxi­ma­tion est meilleure. Nous obser­vons que dans un morceau de courbe, le long du quel le rayon de cour­bure augmente ou diminue (comme dans les parties en montée et en descente de la courbe dans la figure), le cercle oscu­la­teur coupe toujours la courbe, contrai­re­ment à la tangente, qui est situé toujours dans la même partie du plan, par rapport à la courbe, dans un voisi­nage du point de tangence

Puisque dans notre cas le cercle oscu­la­teur donne une bonne approxi­ma­tion de notre courbe et peut être construit à chaque point, le mouve­ment le long d’une rue avec des courbes peut être consi­déré à chaque instant du temps comme le mouve­ment le long d’un arc de cercle. Le rayon et le centre de ce cercle dépendent, évidem­ment, d’où la voiture se trouve à cet instant.

De cette façon, en se déplaçant le long d’une certaine courbe, on peut consi­dérer que à tout moment la voiture se déplace sur un petit arc de cercle. Et notre premier cas, où la rue même est un arc de cercle, est donc essen­tiel pour étudier tout vire­ment.

Mais comment obtenir que pour n’importe quelle posi­tion du volant, le prolon­ge­ment de l’axe des roues est dirigée vers le centre instan­tané de cour­bure (c’est à dire le centre du cercle oscu­la­teur du point corres­pon­dant)?

Il arrive que la géomé­trie vient ici à notre aide, et plus préci­sé­ment avec le trapèze isocèle, que nous connais­sons de l’école: un quadri­la­tère avec deux côtés paral­lèles, appelés bases, et deux autres côtés non paral­lèles égaux entre eux. En choi­sis­sant la bonne longueur des côtés du trapèze, on obtient les condi­tions néces­saires pour un contrôle optimal: les prolon­ge­ments des axes des roues avant se coupent en un point qui se trouve sur le prolon­ge­ment de l’axe des roues arrière. Et ce point est le centre instan­tané de cour­bure.

C’était un maître artisan français, Charles Jeant­land, l’inven­teur un tel système de contrôle des roues des chars. Mais pour les chars, qui se déplacent à faible vitesse, cette inven­tion n’était pas si indis­pen­sable que pour les voitures, et a été oublié. Seule­ment après trois quarts de siècle, deux ingé­nieurs alle­mands, deux pères de l’auto­mo­bile, à savoir Gottlieb Daimler et Wilhelm Frie­drich Karl Michael Benz, retour­nèrent au trapèze de Jeant­land pour la construc­tion de leurs voitures. Daimler en 1889 obtint le brevet pour sa «méthode de contrôle indé­pen­dant des roues avant avec des rayons de cour­bure diffé­rents». Et en 1893 Benz obtint le brevet pour sa «construc­tion d’un système de contrôle avec des cercles tangents aux roues». Après avoir résolu le problème du contrôle des roues avant et d’autres ques­tions tech­niques impor­tantes, Karl Benz construit sa célèbre voiture à quatre roues indé­pen­dantes «Viktoria».

Du point de vue mathé­ma­tique, le trapèze ne permet pas de créer les condi­tions néces­saires pour assurer que les prolon­ge­ments des axes des roues avant se coupent toujours en un point sur le prolon­ge­ment de l’axe des roues arrière. En utili­sant du trapèze, ce point sera toujours un peu déplacé par rapport è la droite de l’axe arrière. Mais pourquoi avons–nous si long­temps parlé du trapèze, demandez–vous. On s’est préoc­cupé trop tôt: tout simple­ment, il ne faut pas appliquer la rigueur mathé­ma­tique à des problèmes tech­niques, sans utiliser le sens commun. Pour que les prolon­ge­ments des axes des roues avant se coupent toujours en un point sur le prolon­ge­ment de l’axe des roues arrière est néces­saire que la longueur de la base plus petite du trapèze changes un peu. Pour la longueur usuelle de cette base, qui est plus d’un mètre, les chan­ge­ments néces­saires seraient au plus d’un centi­mètre, ce qui est infé­rieur au inter­stices entre les joints et à la tolé­rance de la fabri­ca­tion.

Depuis l’époque de la créa­tion des premières voitures, leur vitesse est augmentée consi­dé­ra­ble­ment. Ainsi le besoin d’un meilleur contrôle des roues avant a égale­ment augmenté. En outre, le trapèze est une figure plane géomé­triques. Cette méthode de contrôle des roues avant peut être utilisé unique­ment avec suspen­sions de devant non indé­pen­dantes, c’est à dire lorsque les roues sont soli­daires les unes aux autres et la droite joignant leurs centres est toujours paral­lèle au plan du trapèze. Main­te­nant, ce système peut être trouvé dans les camions. Dans les voitures modernes les suspen­sions des roues sont indé­pen­dantes, elle peuvent se déplacer verti­ca­le­ment l’une par rapport à l’autre. Pour contrôler le braquage on utilise des méca­nismes plus complexes, qui ne sont plus planaires, souvent avec un élément central à forme de crémaillère. Même dans ce cas, calculer les éléments diffé­rents c’est un problème pour les mathé­ma­ti­ciens et les ingé­nieurs. Mais histo­rique­ment, ces méca­nismes conti­nuent à être appelés «trapèzes du braquage».

En ce qui concerne le braquage de la voiture il y a encore une autre ques­tion, liée à la géomé­trie. La longueur d’un cercle de rayon R est égal, vous vous souvien­drez, à 2πR, et la longueur d’un arc d’ampli­tude α est égale à αR. Lorsque la voiture se déplace le long d’un arc de cercle, la roue avant à l’exté­rieur, qui est plus éloigné du centre de cour­bure, se déplace le long d’un arc de rayon plus grand de celle à l’inté­rieur. Le même vaut pour les roues arrière: la roue exté­rieure décrit un arc de longueur supé­rieure que celui de la roue inté­rieure. Et puisque les rayons sont diffé­rents, ainsi les longueurs des chemins des roues du même axe doivent être diffé­rents. Dans le cas contraire l’une des deux roues déra­pe­rait, ce qui dimi­nue­rait le contrôle de la voiture.

Dans le cas où l’axe des roues n’est pas le prin­cipal, c’est à dire, les roues ne font pas bouger le véhi­cule – dans notre cas, les roues avant — c’est simple: chaque roue tourne avec sa vitesse néces­saire pour parcourir la courbe sans déraper.

Mais comment faire, de sorte que les roues de l’axe prin­ci­pale — dans notre cas, les roues arrière — soit poussent constam­ment la voiture, soit tournent à des vitesses diffé­rentes?

Pour cela c’est le diffé­ren­tiel qui vient nous aider, un typique «méca­nisme plané­taire». On appelle «plané­taire» un méca­nisme composé de méca­nismes satel­lites tour­nant autour des axes qui à son tour bougent.

L’arbre d’entraî­ne­ment grâce à la trans­mis­sion donne la rota­tion à l’axe primaire, plus préci­sé­ment, à travers le méca­nisme plané­taire, aux essieux droit et gauche. Quelle que soit la vitesse à laquelle les roues arrière tournent, la vitesse du méca­nisme sera toujours égale à la vitesse moyenne des deux essieux. Chaque roue prend du diffé­ren­tiel une vitesse de rota­tion propor­tion­nelle à la longueur de son parcours, de sorte qu’au total toute l’énergie est convertie en mouve­ment de la voiture.

Si la voiture se déplace sur une rue droite, et sous les roues motrices il y a le même type de sol, c’est à dire avec le même coef­fi­cient de fric­tion, les roues du méca­nisme prennent la même quan­tité de rota­tion de l’arbres d’entraî­ne­ment et les essieux (et le roues avec eux) tournent à la même vitesse.

Mais si les coef­fi­cients de fric­tion sont diffé­rents, par exemple, lorsque la voiture passe d’un coté sur une tache d’huile ou de la glace, alors... Comment tour­ne­ront les roues si cela arrive? Pour les roues non motrices, c’est assez simple: elles sont indé­pen­dantes les unes des autres, et ne doivent pas pousser la voiture, donc si l’une se retrouve sur la glace s’arrête de tourner, et le contrôle devient très faible.

Mais voila aussi la roue motrice arrière à gauche se trouve sur la glace. A droite le contrôle est élevé sur l’asphalte, mais à gauche, sur la glace, il est presque absent. En conséquence, la roue gauche tourne plus faci­le­ment, et elle commence à prendre de son côté toute la rota­tion, que le méca­nisme répartit aux deux essieux. Puisque la quan­tité de vitesse totale, comme nous l’avons dit, est constante, si un essieux tourne très vite, l’autre ne tour­nera pas. Commencer à se déplacer dans cette situa­tion, quand une des roues motrices a perdu l’adhé­rence avec le sol (par exemple, sur la glace), tandis que l’autre ne l’a pas perdue, c’est impos­sible.

Cela semble­rait un défaut du diffé­ren­tiel. Les ingé­nieurs, en fait, cherchent toujours à améliorer le diffé­ren­tiel, tout en conser­vant sa propriété de base, qui est celle du contrôle optimal dans les virages, et en rédui­sant les effets désa­gréables, comme de ne pas permettre de tourner à un essieu lorsque la diffé­rence de vitesse est élevée. Mais il semble que jusqu’à présent rien n’a changé, comme les lois de la géomé­trie sont toujours les mêmes.

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