Les roues du train ⁠

Beau­coup de garçons voudraient aller dans la cabine de pilo­tage du métro. En fait, aller tout droit dans un tunnel, qui est simple­ment un cylindre, ce n’est pas si exci­tant. Autre chose sont les virages.

Mais comment les wagons braquent sur les rails? En fait, la roue droite et la roue gauche sont fixées rigi­de­ment ensemble. Par ailleurs, dans un virage le rayon de cour­bure du rail extérieur est plus grand que le rayon du rail intérieur, donc la longueur de l’arc de cercle qui est parcouru par la roue à l’extérieur est plus grande de la longueur du chemin de la roue à l’intérieur. Et il est nécessaire qu’aucune des deux roues ne dérapent sur le rail.

Considérons un modèle simplifié qui explique pour­tant bien ce qui essen­tiel­le­ment se passe. Les roues de ce modèle sont deux cônes tronqués iden­tiques et sont rigi­de­ment fixée à l’axe. Le profil de la surface du rail est un arc de cercle. Si les rails avaient été plantés verti­ca­le­ment, ils subi­raient une poussée supplémentaire, puisque le char­ge­ment de la roue exerce le pois sur le rail perpen­di­cu­lai­re­ment à sa surface. Par conséquent, les rails sont plantés un peu inclinés en dedans, de sorte que l’axe de leur profil est perpen­di­cu­laire à la surface des roues coniques.

Nous suivons main­te­nant une paire de roues qui prennent un virage. Il arrive qu’elle se déplacent par rapport à la voie!

Obser­vons comment une courbe est faite. Après un bout recti­ligne commence un bout avec rayon de cour­bure variable, enfin il y a un morceau avec un rayon constant, c’est à dire un arc de cercle. Pour s’assurer que les passa­gers ne souffrent pas de secousses par les côtés du wagon lorsqu’il passe entre deux bouts différents, une condi­tion plutôt forte doit être satis­faite: la dérivée seconde de la trajec­toire doit être continue aux points de tran­si­tion entre un morceau et l’autre.

La tangence entre la roue conique et la surface du rail est faite de points. Au virages le point de tangence se déplace sur le cône. Dessi­nons les cercles constitués de tous les points de tangence. Quand l’axe est situé exac­te­ment au milieu, c’est à dire dans un morceau droit, ces cercles sur les deux roues attachées au même axe sont égaux. Mais quand l’axe est déplacé, en prenant un virage, le cercle sur la rue à l’intérieur est plus petit du cercle sur la roue à l’extérieur. Donc on peut considérer que les roues ont des rayons variables. Et puisque le rayon de la roue à l’intérieur est plus petit que le rayon de la roue à l’extérieur, quand les roues tournent sur les rails sans déraper, le chemin parcouru par la roue à l’intérieur est plus court que celui de la roue à l’extérieur.

Mais pourquoi dans un virage les roues se déplacent sur les rails? Il s’avère que la physique n’est pas impliqué. C’est juste une ques­tion de géométrie, et aussi d’une géométrie très belle! Lorsque les rails se courbent, ils provoquent un déplace­ment de la paire de roues exac­te­ment d’autant qu’il faut afin que la roue à l’intérieur et celle à l’extérieur roulent sans déraper.

Un bon modèle doit prendre en compte les propriétés les plus impor­tantes des objets en cours d’examen et négliger les détails. Tel a été notre modèle, mais en réalité tout est plus complexe. Selon la compa­gnie ferro­viaire, la surface de la roue est composée de deux cône tronqué d’ouver­tures légèrement différentes. Il y a en plus un rebord, qui empêche la roue de quitter les rails. Le profil de ce bord è composé de différents arcs de cercles. Aussi le profil du rail, qui dans le modèle consis­tait en un arc de cercle, est en fait formé par l’union de cinq différents arcs de cercles.

Le virage par une paire de roues du train est donc sensi­ble­ment différente du virage par les ⁠⁠roues d’une voiture, mais en réalité, dans les deux cas c’est cette science merveilleuse – la géométrie – qui joue un rôle basi­laire.