Quelle est la profondeur de la station du métro?

Comment pouvez vous estimer la profon­deur d’une station du métro, lorsque vous y accédez par un esca­lier méca­nique? Il arrive que même pour répondre à cette ques­tion il peut être utile de connaître les mathé­ma­tiques! En parti­cu­lier, la trigo­no­mé­trie.

L’esca­lier méca­nique du métro... Combien de choses sont cachées derrière ces mots, pour un obser­va­teur curieux. Une énorme machine en mouve­ment constant, un «esca­lier vivant»...

Tout a commencé vers la fin du XIXe siècle, lorsque le construc­teur améri­cain Jesse W. Reno (1861—1947) a breveté le premier «esca­la­teur mobile». Dans sa construc­tion, au lieu des marches fixées à une bande “infinie”, il y avait des cylindres longi­tu­di­naux. Mais le premier esca­la­teur public a été fabriqué, selon son inven­teur, Charles D. Seeberger (1857—1931), par l’usine “Otis” et a été exposé à l’Expo­si­tion univer­selle de Paris du 1900. Il avait des marches hori­zon­tales, sortant de sous une rampe sur une plate­forme d’entrée et dispa­rais­sant sous la même rampe sur une autre plate­forme : ce méca­nisme donnait beau­coup de problèmes. En 1921, les deux idées — des marches hori­zon­tales et des cylindres — ont été mises ensemble pour construire un nouveau modèle, qu’à partir de ce moment, il a été toujours utilisé.

Lorsque dans les années trente, les russes commen­cèrent à projeter le métro de Moscou, ils ont essayé de faire usage de l’expé­rience étran­gère. Cepen­dant, le coût et le temps requis pour sa réali­sa­tion par les entre­prises étran­gères étaient si grandes que l’idée a été aban­donnée. Alors le chef de la succur­sale londo­nienne de la société “Otis”, écrit ainsi au repré­sen­tant du Conseil de Moscou: «Vos spécia­listes sont des gens capables. Mais l’esca­la­teur roulant est une affaire très compliquée, et ce problème n’est pas à votre portée. Même nous, avec nos décen­nies d’expé­rience, nous ne sommes pas en mesure d’exécuter le projet avec ces délais. Moi, comme un ami de l’Union Sovié­tique, j’ai le devoir de vous avertir que la date du début du métro peut ne pas être respectée». Mais les ingé­nieurs et les scien­ti­fiques sovié­tiques ont été capables de résoudre ce problème unique, et en Février 1935, un esca­la­teur a commencé à trans­porter des passa­gers à la station de métro de Moscou.

Un des éléments impor­tants de l’esca­la­teur est la marche. Elle a quatre rouleaux, deux petits et deux grands. Les grandes et les petites roulent le long de leur propres rails.

Lorsque les esca­la­teurs furent conçus, même le choix des maté­riaux pour les rouleaux était un problème très impor­tant et diffi­cile. Le métro de Moscou est ouvert de 6 heures jusqu’à environ une heure de la nuit. Autre­ment dit, plus que 19 heures — ce qui fait plus que 68000 secondes par jour. La vitesse mini­male de fonc­tion­ne­ment d’un esca­la­teur méca­nique est de 0,75 m/s, ce qui signifie que chaque marche fait 50 km par jour. Et donc, jour après jour, sans arrêt, dans un an plus que 18000 km! Pouvez–vous imaginer quel genre de maté­riel devrait être utilisé pour les rouleaux, pour qu’ils tiennent sans de répa­ra­tions et rempla­ce­ments régu­liers un nombre assez élevé de passa­gers qui montent sur les marches. Et ce n’est qu’un détail et un problème parmi tous ceux que les ingé­nieurs sovié­tiques devaient alors résoudre. Et de problèmes pareils in il y en avait des milliers.

Voila le schéma d’un esca­la­teur méca­nique. Si l’on regarde de côté, on voit que la posi­tion mutuelle des rails, de gros rouleaux et de petits rouleaux, définit la propriété fonda­men­tale de l’esca­la­teur: dans la partie supé­rieure de «l’esca­la­teur vivant», où sont les passa­gers, les marches sont toujours hori­zon­tales. Mais au dessous les marches sont inversés et deviennent paral­lèles aux rails, en écono­mi­sant de l’espace dans le tunnel qu’ils parcourent.

Mais reve­nons à notre ques­tion sur la profon­deur, c’est–à–dire de combien de mètres on descend par l’esca­la­teur. Le fait surpre­nant est que tous les esca­liers méca­niques russes, dès premiers jusqu’aux actuels, sont inclinés de 30 degrés par rapport à l’hori­zon­tale!

Nous allons construire menta­le­ment un esca­la­teur sur un triangle rectangle. La longueur de son hypo­té­nuse est la longueur de l’esca­lier, tandis que la longueur du cathète plus court est approxi­ma­ti­ve­ment égale à la profon­deur de la station de métro à laquelle cet esca­la­teur conduit.

Mais comment calculer la longueur de l’esca­lier, lorsqu’on descend sur lui? On pour­rait mesurer le temps, mais ensuite pour le calcul du parcours on devrait connaître exac­te­ment la vitesse de dépla­ce­ment, qui peut varier de 0,75 m/s à 1 m/s, de sorte que l’erreur — d’un quatrième — est assez grand.

On pour­rait calculer les mesures d’une marche, mais dans ce cas compter combien il y en a sur l’hypo­té­nuse, tout en se déplaçant sur l’esca­la­teur, c’est compliqué...

Que pouvons nous encore utiliser? En descen­dant ou en montant sur un esca­la­teur méca­nique, nous voyons conti­nu­ment des lampa­daires! La distance entre eux n’est pas fixée, mais selon les règles du gouver­ne­ment, il faut un certain éclai­rage des tunnels. Il en résulte que les lampa­daires sont situés à environ cinq mètres de distance l’un de l’autre.

En descen­dant par l’esca­la­teur, on peut compter le nombre de lampa­daires. Que devrions–nous faire alors, pour calculer la longueur de l’hypo­té­nuse?

Ne vous préci­pitez pas à multi­plier par 5. Pour le compte de la longueur nous n’avons pas besoin du nombre de lampa­daires, mais de la quan­tité de distances entre eux! Du nombre de lampa­daires il faut donc sous­traire 1, et alors multi­plier par 5 et par le sinus de 30°.

La chose jolie à ce point est que le sinus de 30 degrés est égale à ½, et avec ce nombre il est facile de faire le calcul! Donc, la formule obtenue pour la profon­deur d’une station est très facile tant à retenir quant à être calculée.

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