Псевдосфера: поверхность постоянной отрицательной кривизны⁠

Псевдосфера — поверхность Бельтрами — является поверхностью постоянной отрицательной гауссовой кривизны. Постоянство гауссовой кривизны во всех точках поверхности имеет интересную механическую интерпретацию: кусочек поверхности можно двигать по самой поверхности, и он, изгибаясь, всё время будет прилегать к ней. Без математических знаний в случае псевдосферы это кажется удивительным.

Два важнейших и простейших примера поверхностей постоянной гауссовой кривизны — плоскость и сфера.

Плоскость является примером поверхности нулевой гауссовой кривизны. Листочек — кусочек плоскости — можно сдвигать по ней, поворачивать, и листочек всегда будет прилегать к плоскости. Листочек можно перевернуть и снова положить на плоскость. (Кроме того, из листочка можно свернуть цилиндр и конус, для которых уже не так очевидно, что это поверхности постоянной нулевой кривизны.)

Гауссова кривизна во всех точках сферы радиуса $R$ одинакова и равна $1/R^2$. Сферическую шапочку можно двигать по сфере, поворачивать относительно центра шапочки и она всегда будет прилегать к сфере. Но если попробовать перевернуть шапочку, то приложить её к сфере не удастся.

Трактриса — плоская кривая, описываемая точкой («тяжёлым телом»), которую тащат на верёвке постоянной длины $R$, идя по прямой $l$. Положения верёвки при этом являются касательными к трактрисе, а сама кривая приближается к прямой $l$, но не достигает её.

Если провращать трактрису вокруг прямой $l$, получится бесконечная поверхность. В фильме показана половина трактрисы и половина поверхности. Полностью поверхность бесконечна в обе стороны, во всех точках гладкая, кроме ребра возврата, являющегося окружностью радиуса $R$.

В 1693 году Христиан Гюйгенс заметил, что площадь этой поверхности и ограничиваемый ею объём конечны: площадь равна $4\pi R^2$ и совпадает с площадью сферы радиуса $R$, а объём в два раза меньше объёма шара радиуса $R$.

В первой половине XIX века российский математик немецкого происхождения Фердинанд Миндинг показал, что поверхность имеет постоянную отрицательную гауссову кривизну, равную $-1/R^2$. Кроме того, он показал, что понятия группы движений и конгруэнтных фигур имеют смысл лишь на поверхностях постоянной кривизны.

А во второй половине XIX века, уже после смерти и Николая Ивановича Лобачевского, и Карла Фридриха Гаусса, и Яноша Бойяи, итальянский математик Эудженио Бельтрами доказал, что на гладкой части этой поверхности, вложенной в трёхмерное пространство, локально реализуется ⁠⁠геометрия плоскости Лобачевского и назвал поверхность псевдосферой.

Гауссова кривизна поверхности в точке равна произведению главных кривизн в этой точке. На плоскости и на сфере значения главных кривизн не меняются от точки к точке. Псевдосфера — более сложная и интересная поверхность постоянной кривизны: главные кривизны меняются, а вот произведение их значений, $-1/R^2$ — нет. И несмотря на это…

Возьмём некоторый кусочек поверхности Бельтрами. Сделаем пластину из изгибаемого, но нерастяжимого материала, например, меди, в форме этого кусочка поверхности. Эта пластина, имеющая отрицательную гауссову кривизну, может (как и плоский лист бумаги) изгибаться, и при этом расстояния по поверхности между точками пластины не меняются. По знаменитой теореме Гаусса, названной им самим «egre­gium» (замечательной), гауссова кривизна зависит только от внутренней геометрии поверхности (т. е. расстояний по поверхности) и поэтому не меняется при изгибаниях. Значит, нашу пластину нельзя приложить ни к плоскости (имеющей нулевую кривизну), ни к сфере (имеющей положительную кривизну). А вот к псевдосфере можно приложить в любой точке и в любом положении!

Псевдосфера является поверхностью вращения, и пластину, очевидно, можно смещать вдоль параллели.

Менее очевидно, что пластину можно сдвигать по высоте вдоль поверхности.

Без математических знаний не верится, но эту пластину можно вращать, и она всегда будет прилегать к поверхности!

Если из псевдосферы вырезать «средний слой» и посмотреть только на оставшиеся части, имеющие в точках совсем разные главные кривизны, то не верится даже, что пластину можно приложить и к одной части, и к другой.

Ещё более интересный факт, подмеченный штатным краснодеревщиком лаборатории популяризации и пропаганды математики Математического института им. В. А. Стеклова РАН Александром Лещинским при изготовлении этой модели, заключается в том, что пластину можно «вывернуть наизнанку»: как и в случае листочка на плоскости её можно перевернуть, и она снова будет прилегать к поверхности Бельтрами! Выворачивание пластины связано с решениями важного нелинейного дифференциального уравнения в частных производных — уравнения sin-Гордона $\frac{\partial^2u}{\partial x\,\partial y}=\sin u$, и в следующей версии фильма мы покажем, как это выглядит.