Augmenter le volume des polyèdres convexes

Vous souvenez–vous de la forme du berlingot, le paquet de lait il y a cinquante ans? Il est surpre­nant que dans toute l’Europe, y comprise la Russie, on les ache­tait presque tous les jours pendant vingt ans, mais peux de gens rappellent exac­te­ment ce qui était écrit dessus.

Mais bien sûr tout le monde n’oublie pas que le paquet de lait avait la forme d’un tétra­èdre (une pyra­mide trian­gu­laire régu­lier). Les paquets en forme de tétra­èdre ont été dans les années 40 du XXe siècle inventés par l’usine Tetra Pak, qui a pris le nom même de ces paquets. Les inno­va­tions appor­tées par Tetra Pak à cette époque étaient deux. Premiè­re­ment, pour la première fois des liquides alimen­taires ont été placés dans des cartons. Deuxiè­me­ment, la produc­tion d’embal­lage tétra­édrique était si facile qu’il était possible de les fabriquer direc­te­ment dans les usines de lait.

Le paquet de lait plus fréquente dans l’Union sovié­tique était celui–ci.

Mais savez vous plier le morceau de carton par lequel le paquet de lait est fait afin d’obtenir un paquet de volume plus grand?

Mathé­ma­tique­ment parlant, il est possible de plier le déve­lop­pe­ment d’un tétra­èdre en obte­nant un poly­èdre avec un volume plus grand?

Un théo­rème de A. Alek­san­drov dit qu’on ne peut pas le plier pour obtenir un poly­èdre convexe avec un volume plus grand volume. Toute­fois, il pour­rait être possible d’obtenir un poly­èdre non convexe avec plus de volume.

Aussi étrange que cela puisse paraître, c’est effec­ti­ve­ment possible!

Nous allons suivre la construc­tion que David D. Blee­cker a suggéré en 1996. Eloi­gnons les faces les unes des autres et ajou­tons de nouveaux sommets et arêtes comme il suit. Prenons dans le centre de chaque face un triangle équi­la­téral avec les côtés longs deux fois la distance entre le sommet et le côté de la face. En suite nous dessi­ne­rons les arêtes supplé­men­taires.

Répé­tons la même procé­dure sur chaque face. Replions chaque face le long des arêtes de telle sorte que ses sommets et les milieux des côtés vont se déplacer vers le centre du tétra­èdre, tandis que le triangle au centre restera éloigné. Atta­chons ensemble les quatre parties. Quelques–unes des faces nouvelles sont copla­naires ainsi que les arêtes qui les séparent dispa­raissent.

Pour calculer le volume de ce poly­èdre, nous allons le diviser en morceaux. Notre poly­èdre est composé de 4 pyra­mides iden­tiques hexa­go­nales et d’un tétra­èdre avec les sommets tronqués. Pour simpli­fier le calcul, atta­chons quatre petits tétra­èdres au tétra­èdre tronqué, après nos sous­trai­rons leur volume du volume total du tétra­èdre.

Nous décou­vrons ainsi que le volume du poly­èdre est le 37,7% plus grand que celui du poly­èdre initial. Ainsi, le morceau de carton par lequel on a fait l’embal­lage tétra­édrique peut être plié en un paquet plus d’un tiers plus grand!

Éton­nam­ment, le tétra­èdre ne constitue pas une excep­tion. Il s’avère que le déve­lop­pe­ment de tout poly­èdre convexe à faces trian­gu­laires peut être plié dans un poly­èdre avec un volume plus élevé. Ce théo­rème a été démontré par D. Bleeker en 1996, qui a égale­ment proposé un algo­rithme pour le faire.

Dans son article, D. Blee­cker a consi­déré, ainsi que des poly­èdres avec des faces trian­gu­laires, deux poly­èdres qui n’appar­tiennent pas à cette classe: le cube et le dodé­ca­èdre. Aussi leurs déve­lop­pe­ments peuvent être pliés en poly­èdres non convexes qui contiennent plus de volume.

Conjec­ture

Le déve­lop­pe­ment de tout poly­èdre convexe peut être replié en vue d’obtenir un poly­èdre non convexe avec plus de volume.

Ques­tions ouvertes

Prouver (ou infirmer) la conjec­ture.

De quelle quan­tité peut augmenter au maximum le volume du poly­èdre obtenu par le pliage du déve­lop­pe­ment d’un tétra­èdre?

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