Placement regulier par morceaux d’un polyedre

Peut-on plier le patron d’un polyèdre en corps fermé, dont les côtés provien­dront non pas des morceaux des faces, mais des morceaux des surfaces planes?

Prenons un cube dont la longueur du côté est  $\pi$. Déplions-le en dévelop­pe­ment clas­sique en croix et, spéciale­ment en menant les axes des coor­données, traçons la fonc­tion $y=sin(x)$. Mettons les morceaux de dévelop­pe­ment, coupés en sinusoïde, et symétriques entre eux. Le dévelop­pe­ment n’a pas changé, tout comme les condi­tions de collage des côtés, selon le place­ment, ont été conservées. On peut plier un tel corps à partir de la figure obtenue.

Cepen­dant, l’exemple étudié, bien que répondant à la ques­tion posée, comporte un inconvénient. Sa limite comporte deux morceaux, hérités d’un cube, qui ressemblent à des morceaux de plans. Après l’élabo­ra­tion de cet exemple, la construc­tion, ne présentant pas de “moins”, a surgi très vite.

Prenons une feuille de papier rectan­gu­laire de côté $\pi/2$. On peut plier, à partir d’une feuille de papier rectan­gu­laire, une pyra­mide trian­gu­laire. Pour cela, on fait corres­pondre les côtés aux centres des côtés voisins, et nous menons l’ arête corres­pon­dant au milieu des longueurs des côtés. En faisant , selon cette arête, on obtient une pyra­mide trian­gu­laire.

A partir de cette même feuille de papier, on peut obtenir une autre figure dont le bord de compo­sera de surfaces planes. oignons les milieux des côtés voisins à ¼ de sinusoïde. Rassem­blons la feuille selon ses arêtes. On obtient ce beau corps. Il obtient l’inter­sec­tion de 3 cylindres: deux se touchent et un, disposé perpen­di­cu­lai­re­ment à la dispo­si­tion. Ainsi, le bord de la figure se compose de 3 morceaux de cylindres.

Il semble­rait que de tels exemples durent être construits, si ce n’est à l’époque d’Archimède, il y a tout de même très long­temps. Cepen­dant, les exemples étudiés ont été construits seule­ment en automne 2004

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