Translations et rotations

Pour réaliser la réflexion par rapport à un axe, nous utili­sons un losange à quatre char­nières, composé de quatre barres de même longueur et avec deux sommets opposés qui se déplacent le long d’un axe fixe (en rouge). En fait, la posi­tion de l’une des deux char­nières libre (en vert), déter­mine la longueur du côté opposé du triangle, don elle est le sommet, et ce triangle résulte être égale à celui de l’autre coté de l’axe, donc les deux char­nières en vert du méca­nisme sont toujours dans des posi­tions symé­triques par rapport à l’axe.

Prenons par exemple un triangle recourbé, et obser­vons comment l’appli­ca­tion de notre méca­nisme va le trans­former. Le résultat est une figure symé­trique. Plus préci­sé­ment, elle est égale à la figure initiale, mais est orientée diffé­rem­ment. Autre­ment dit, si le plan était une feuille de papier infinie avec la figure dessinée sur elle, alors nous devrions plier le papier le long de l’axe de symé­trie, et calquer la figure de la moitié supé­rieure vers la moitié infé­rieure.

Appliquons main­te­nant au triangle obtenu par le méca­nisme qui produit la réflexion, le même méca­nisme, avec l’axe paral­lèle à celui que nous venons d’utiliser. Le triangle ainsi obtenu a la même symé­trie du triangle initial, et l’on obtient du triangle initiale par trans­port paral­lèle, c’est–à–dire par trans­la­tion. Un paral­lé­lo­gramme double, avec deux char­nières fixes (en rouge) réalise cette appli­ca­tion dans le plan. Ainsi, le résultat de deux réflexions d’axes paral­lèles est tout simple­ment une trans­la­tion. Il est vrai aussi le réci­proque, toute trans­la­tion peut être décom­posée en deux réflexions d’axes paral­lèles. Comme vous pouvez le voir, cette décom­po­si­tion n’est pas unique.

En mathé­ma­tiques le résultat d’appli­ca­tions succes­sives est appelé compo­si­tion; en termes de fonc­tions, on dit fonc­tion composée. Ainsi, comme dans le langage de l’analyse, le résultat de la compo­si­tion peut être réalisée soit en appliquant en séquence les actions corres­pon­dantes, soit en faisant leur compo­si­tion et en l’appliquant comme un «produit». L’image–objet qui en résulte peut être assez diffé­rent de celui initial, auquel la compo­si­tion a été appliquée.

Mais qu’est–ce qu’il arrive si les axes de symé­trie ne sont pas paral­lèles?

La compo­si­tion de deux réflexions avec les axes non paral­lèles est une rota­tion avec le centre à l’inter­sec­tion de deux axes. De plus, l’angle de cette rota­tion est égal au double de l’angle entre les axes. Comme dans le cas de la trans­la­tion, toute rota­tion dans le plan peut être décom­posée en deux réflexions.

Un méca­nisme à char­nières, basée sur le losange, réalise l’appli­ca­tion de la rota­tion dans le plan.

Mais main­te­nant nous appliquons au plan (dans l’exemple de notre figure) dans la séquence une trans­la­tion, puis une rota­tion. Est–ce qu’il est possible d’obtenir la figure résul­tante de la figure initiale par l’appli­ca­tion d’un seul mouve­ment?

Décom­po­sons la rota­tion en deux réflexions. De cette figure, il est évident que le processus d’obten­tion du triangle gri et succes­sive réflexion peut être remplacé par une seule réflexion. Mais cette figure résulte alors de la compo­si­tion de deux réflexions avec les axes non paral­lèles, que nous connais­sons déjà, c’est–à–dire tout simple­ment une rota­tion.

Dessi­nons un triangle sur une table. Mettons au dessus une feuille de papier sur lequel suivrons la figure. Soule­vons le papier et lais­sons le, de sorte qu’il tombe sans chavirer. De cette façon, nous obte­nons, comme disent les mathé­ma­ti­ciens, un dépla­ce­ment “géné­rique” plan, qui est une appli­ca­tion qui préserve les distances et ne change pas l’orien­ta­tion. Évidem­ment, il est possible que les figures initiale et finale diffèrent par une simple trans­la­tion, mais les chances que la feuille se trouve dans une posi­tion si précise est extrê­me­ment faible. Dans tous les autres cas il s’agit d’une simple rota­tion d’un certain angle par rapport à un certain centre.

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